Rosza Peter und "Das Spiel mit dem Unendlichen"

Textauszüge aus einem Buch, das von großer Wichtigkeit für mich
war und ist

Peter, Rozsa
Das Spiel mit der Unendlichkeit
Mathematik für Außenstehende
5. Aufl., BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft 1984, (1. Aufl. 1955)

Dieses Buch war die erste Begegnung mit einer "weiblichen" Sicht auf Mathematik. In ihm fand ich einen Gedankenanstoß, der mich zur Ausarbeitung meiner Mathematik-Arbeit
"1 + 1 = 1 -
Dumme Gedanken eines dummen Weibes
über die Krone der Wissenschaft, die Mathematik"
anregte.
Eigentlich verlief das Ganze damals, im Jahr 1997 andersherum: Ich hatte das Buch ausgeliehen, weil es - aus der Reihe "Schülerbücherei" - kurzweilige Unterhaltung auch für meinen damals 10jährigen Sohn versprach. Beim Lesen merkte ich schnell, dass hier gar nicht vorrangig Schüler angesprochen werden sollten - die vorausgesetzten theoretischen Kenntnisse waren viel zu hoch.
Als zweites fiel mir der Stil auf, in dem das Buch geschrieben war, eigenartig unüblich empfand ich ihn. Deshalb wollte ich mir den Autor (ich hatte "Peter" für den Vornamen gehalten) genauer ansehen - und stellte fest, dass es eine Frau war, die dieses Büchlein vor schon langer Zeit geschrieben hatte.

Als nächstes verwunderte ich mich über die sogenannten "Intuitionisten", von denen ich noch nie zuvor gehört hatte und von denen ich damals auch noch nichts weiter erfahren konnte, als dass sie sozusagen eine Art " Abweichler"-Rolle in der Mathematik spielen. Dieses Buch habe ich auch in meiner Mathematikarbeit vorgestellt, allerdings mit einigen Kommentaren, die ich hier vorerst weglasse. Den folgenden Textauszug stelle ich erst einmal so in den Raum.
Ich werde später wieder darauf zurückkommen.

21. Vor dem Tribunal der Über-Mathematik
(S. 255)
„Wir verfügen über einige ungedeutete Zeichenfolgen (diese werden Axiome genannt) und über einige Spielregeln, die besagen, zu welchen anderen Zeichenfolgen man von einer gegebenen Zeichenfolge aus übergehen darf (diese werden Schlußregeln genannt).* Auf diese Weise wird das System der Sätze und Beweise in den Händen des Mathematikers zu einem ebenso geschmeidigen und fügsamen Stoff wie die Zahlen selbst: Er kann an ihm die bewährten Verfahrensweisen der Mathematik erproben. Diese Verfahrensweisen dürfen aber nun nicht mechanisch nach Spielregeln angewandt werden. Man hat bei jedem Schritt gut zu bedenken, ob er wohl eine unbestreitbar zulässige Folgerung ist, ob sich nicht gefährliche Elemente eingeschlichen haben. Nicht einen Augenblick darf man das Ziel aus dem Auge verlieren: Man will die Berechtigung der Benutzung transfiniter Elemente in dem betrachteten Wissenszweig erweisen; ein solcher Nachweis besäße aber gar keine Glaubwürdigkeit, wenn er mit ebenso gefährlichen Elementen geführt würde. Man muss hier die Mittel so rein halten, dass selbst der bedenkliche Intuitionist daran nichts auszusetzen hat. So spaltet sich die Mathematik: einerseits in vollkommen formale Systeme mit formalen Spielregeln anstatt der Schlußfolgerungen, andererseits in eine Über-Mathematik, die den Inhalt eines jeden ihrer Schritte bedenkt und ganz harmlose Schlüsse anwendet, in die sogenannte „Meta-Mathematik“, welche die formalen Systeme gleichsam von außen her untersucht und deren Hauptzweck der Beweis der Widerspruchsfreiheit der betrachteten Wissenszweige ist. Wenn wir aber danach forschen, ob wir an Hand unserer Spielregeln nicht zu einem Widerspruch gelangen können, müssen wir dann nicht dennoch den Inhalt der Aussagen des Systems untersuchen? Man könnte ja glauben, dass es nicht zur Form, sondern zum Inhalt eines Satzes gehört, dass er einen Widerspruch enthält. Dieser Besorgnis ist durch die Bemerkung abzuhelfen, dass es genügt, wenn man sich auf einen einzigen Widerspruch beschränkt, z.B. - sofern die natürlichen Zahlen zum System gehören - auf den folgenden:
1 = 2

* Als Beispiel war genannt, dass man einen Summanden von der einen Seiten einer Gleichung als Subtrahenden auf die andere Seite bringen kann.

Diese einfache Zahlenfolge kann rein durch ihre Struktur gekennzeichnet werden: Wir nehmen zur Kenntnis, dass das Nacheinander eines 1ers, eines Zeichens „=„ und eines 2ers einen Widerspruch bedeutet. Mehr brauchen wir dann nicht. Einmal war schon die Rede davon, dass es Scherzableitungen gibt, die einen Beweis für 1 = 2 liefern, und ich habe bereits dort erwähnt, dass sich aus einer einzigen widersprüchlichen Aussage, die in die Schlußfolgerung hineingerät, alles ableiten lässt, sogar 1 = 2. Es genügt also, zu beweisen, dass die eine Formel 1 = 2 im System nicht ableitbar ist, dann ist man schon sicher, dass sich in das System in keiner Weise Widersprüche einschleichen konnten. Die exakt formulierte Aufgabe der Metamathematik besteht demnach darin, zu zeigen, dass man nie zu einer Zeichenfolge der Form 1 = 2 gelangen kann, sofern man von jenen Zeichenfolgen ausgeht, welche die Axiome* des betrachteten Systems genannt werden, und die Spielregeln anwendet."
* Aus Axiomen werden formal weitere Schlüsse abgeleitet, die offensichtlich aus der praktischen Anwendung resultieren, aus den daraus gewonnenen begründeten Schlussfolgerungen.

Anmerkung
Sehr spannend sind auch ihre Überlegungen zur "transfiniten Induktion".
Doch die stelle ich erst hier vor, wenn ich sie noch einmal in Ruhe durchdacht habe.

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