Orthodox und paradox - beide Wörter gehen auf "dóxa", dem griechischen Wort für "Meinung", zurück.
Orthodox meint "rechtgläubig, strenggläubig, der Lehrmeinung entsprechend".
Paradox meint "der allgemein üblichen Meinung entgegenstehend, widersinnig".
Aus diesen Wortbedeutungen ergibt sich in "strenger Logik" eigentlich, daß jede von der Lehrmeinung abweichende Theorie "paradox" ist: sie stellt einen Widerspruch zu ihr dar und - jetzt kommt das eigentliche Problem - mit diesem Widerspruch hat sie dann wohl auch "bewiesen", daß sie falsch sein muß.
Doch glücklicherweise ist es nicht ganz so einfach...

Allgemein bedeutet die Vorsilbe "para-" in etwa: "neben, entgegen, gegen, abweichend" . Doch darüber hinaus bedeutet sie auch: "über -  hinaus".
Paradox kann also auch bedeuten, daß etwas im Rahmen des bisherigen Wissens, der bisherigen Lehren und Theorien nicht faßbar ist, daß diese Aussage über die bisherige Lehre hinaus geht.

In diesem Sinne muß eine neue Theorie, die über die alte hinausgehen will, in der Denkweise der alten Theorie paradox erscheinen.
Noch allgemeiner formuliert, heißt das: Nur eine am Anfang paradox erscheinende Theorie kann wirklich etwas Neues beinhalten.
Schon daraus folgt, eine Wissenschaft, die auf Erkenntnisfortschritt   aus ist, muß in der Lage sein, mit Paradoxa, mit paradoxen Theorien, mit Widersprüchen (zu bisherigen Lehren) umzugehen.
Eine Ablehnung eines neuen Gedankenansatzes nur deshalb, weil er nicht in die bisher üblichen Vorstellungen paßt, ist also in letzter Konsequenz wissenschafts- und erkenntnisfeindlich.

ABER: Nicht jede paradox erscheinende Theorie muß etwas Neues enthalten.

"Was ist paradox?" war einmal eine Scherfrage, die u. a. folgende Antworten bereithielt:
- Paradox ist, wenn zwei Kahlköpfe sich in den Haaren liegen.
- Paradox ist, wenn ein Leuchtturmwärter einen beschränkten Horizont hat.
- Pardox ist, wenn ein Tiefseetaucher hoch hinaus will.

Das Prinzip dieser Sätzchen ist leicht zu durchschauen: da werden Worte, die verschiedene Bedeutung haben, einmal in der einen, einmal in der anderen Bedeutung verwendet: z. B. im "wörtlichen Sinn" und im "übertragenen Sinn".

Mit solchen Spielchen hat aber weder das in der Einleitung genanntes mathematische Zahlen-Paradoxon etwas zu tun noch die verschiedenen in der Physik bekannten Paradoxa.

Zwischen diesen paradoxen Wortspielereien, paradox oder widersprüchlich erscheinenden beliebigen Aussagen und Theorien, zwischen Paradoxien und den physikalischen sogenannten "Paradoxa" (Plural von "Paradoxon") gibt es einen wesentlichen Unterschied.
Eine Paradoxie ist (s. o.) eine wirkliche oder scheinbare Widersinnigkeit, ein Widerstreit mehrerer Sinngehalte, eine gegen allgemein anerkannte Grundsätze verstoßende Behauptung.
Ein Paradoxon ist eine Erscheinung oder Aussage, die der oberflächlichen Erwartung widerspricht, sich jedoch bei genauerer Untersuchung auf bekannte Gesetze zurückführen läßt. So sind in der Physik beispielsweise folgende Paradoxa bekannt:
das hydrodynamische Paradoxon, das hydrostatische Paradoxon, das sogenannte Zwillingsparadoxon der Einsteinschen Relativitätstheorie.
Nicht selten führt das Nachdenken über solche Paradoxa zu einem tieferen Verständnis der  physischen Wirklichkeit und der sie beschreibenden Theorien.

"Ein Wort, kaum ausgesprochen, erzeugt den Widersinn." (Goethe)
Der Widerspruch liegt sozusagen in der Natur des menschlichen Geistes. Somit wird Erkenntnis um so effektiver sein, je souveräner sie mit Widersprüchen, unterschiedlichen Sichtweisen umzugehen weiß. Ein Beharren nur auf einer Sichtweise, nur auf einem Aspekt wird dagegen die Erkenntnis stagnieren lassen.

Wer sich mit der dialektischen Denkmethode auskennt, wird keine Probleme haben, Widersprüche in seinen Erkenntnisprozeß zu integrieren, sie sozusagen "genußvoll" auszuagieren.
Wer schon mit einem Vorurteil - ohne zu wissen, was Dialektik kann - diese ablehnt, bleibt in seinen unverstandenen Widersprüchen und "Paradoxa" stecken.
So einfach kann es manchmal sein.

Die Dialektik fragt nach den allgemeinsten Gesetzen des Seins und des Denkens. Mit anderen Worten: wer ihre Gesetze beherrscht, findet sie in der Mathematik, Physik, Biologie, in der Soziologie, in der Wissenchaftsentwicklung - in allen Erkenntnisformen und allen Entwicklungsprozessen wieder.
Sie sagt,
- was die Ursachen der Entwicklung sind (die Einheit und der Kampf der Widersprüche als Triebkraft der Entwicklung), 
- wie diese Widersprüche gelöst werden, wie also die Entwicklung sich vollzieht (die "Art und Weise der Entwicklung" - in der Wechselbeziehung von quantitativer und qualitativer Entwicklung - dem Umschlagen aus einer Form in die andere ).
- Vor allem sagt eines dieser allgemeinsten Entwicklungsgesetze jedoch, in welche  Richtung die Entwicklung geht: vom Niederen zum Höheren. Diese Entwicklungsrichtung kann auch beschrieben werden  als "Negation der Negation".

Diese drei Aussagen sind so allgemein, daß sie auf alle Entwicklungsprozesse angewandt werden können, auch auf den Prozeß, in dem sich menschliches Wissen, die Wissenschaft und speziell die Physik entwickeln.
Mit anderen Worten: Ohne diese Widersprüche, Auseinandersetzungen, Meinungsverschiedenheiten würde Wissenschaft und Physik sehr schnell zum Stillstand kommen.
Der Widerspruch ist so etwa wie ein Potentialgefälle: ein Höhenunterschied, damit das Wasser fließen kann, ein Spannungsunterschied, damit der elektrische Strom fließen kann, ein "Unter-schied", damit überhaupt "ver-schiedenes" wahrgenommen werden kann.

Anders ausgedrückt: Aussage und Gegenaussage, Wissenschaftstheorie und Kritiker sind die beiden Seiten, die benötigt werden, damit es zu Erkenntnisfortschritt kommen kann. Dieser Gegensatz, dieser Widerspruch nun kann barbarisch-kämpferisch-krampfhaft-leidvoll oder kulturvoll-fröhlich-spielerisch-lustvoll ausgetragen werden.

Mehr über die Dialektik wird  es irgendwann in nächster Zeit auf meiner Seite "www.freude-am-erkennen.de" (zur Zeit im Aufbau) geben. Ich bitte um noch ein wenig Geduld. Hier schon einmal der Link auf die Seite:



Achtung: der dialektische Begriff "Widerspruch" hat eine umfassendere Bedeutung als der Begriff "Widerspruch" im obigen Goethe-Zitat beinhaltet.

Einen hübschen Widerspruch hat sich Betrand Russel einfallen lassen. Vielleicht hat er auch in älteren Quellen geklaut, das weiß ich nicht so genau. Doch berühmt geworden ist sein Barbier-Paradoxon:
In einem Dorf rasieren sich die Männer entweder selbst oder sie werden vom Barbier rasiert. Doch wer rasiert den Barbier? Wenn er "sich selbst rasiert" wird er gleichzeitig "vom Barbier rasiert" und verstößt damit gegen die Voraussetzung.
Selbstverständlich ist das kein wirkliches logisches oder mathematisches Problem, kein wirkliches Paradoxon, sondern nur ein Verwirrspiel analog den obigen paradoxen Sprachspielereien, die sich aus Doppeldeutigkeiten ergeben. Man kann es in der Sprache der Mathematik, im Rahmen der Mengenlehre ganz einfach und unkompliziert lösen.

Auf dieses Beispiel werde ich in der Mengenlehre eingehen -  irgendwann nach dieser Aktualisierung vom März 2008

ausführlicher hierzu in "Struktur der Materie": Kontinuum

Das bekannteste Beispiel dieses Paradoxons ist die Kugeloberfläche: Obwohl sie als Fläche gemessen einen endlichen Betrag hat, ein endlicher Zahlenwert für die Größe der Fläche in Quadratzentimeter, Quadratmeter oder Quadratkilometer hat, ist sie in dem Sinne  "unendlich", daß sie "keinen Rand", "keine Grenze" hat.
Andere Flächen (ein Bogen Papier zum Beispiel), haben Ränder.
Rollt man diesen Bogen zu einer Röhre (Zylindermantel, ohne "Boden" und "Deckel"), hat man eine Fläche, die - je nach Richtung - randlos ist wie die Kugeloberfläche oder Ränder hat.
Der Unterschied  zwischen randbesitzenden und randlosen Flächen ist, daß Flächen, die auch nur in einer Richtung  "randlos" sind, nicht in zwei Dimensionen "aufgespannt" werden können.
"Randlos" ist also hier ein anderes Wort für "Fläche krümmt sich in eine dritte Dimension hinein".

Es gibt noch ein weiteres Kennzeichen dieser Unendlichkeit bzw. Randlosigkeit einer Kugel: man kann sich von jedem Punkt der Kugel aus auf einer "unendlichen Bahnkurve" bewegen, ohne an den Ausgangspunkt zurückzukommen. Allerdings werden andere Punkte dann mehrfach durchlaufen bzw. gekreuzt. Will man die "längste" Kurve ohne Kreuzungspunkte durchlaufen,  findet man sie nur als am Ausgangspunkt beginnende dichteste Spiralkurve (Was ist eine "dichteste Spirale" ?), die am "Antipoden-Punkt" doch endet: dann hat man alle Punkte der Kugeloberfläche einmal berührt bzw. durchlaufen. Dann ist die Kurve doch wieder "endlich" . Voraussetzung dieser "Endlichkeit" ist jedoch, daß man eine bestimmte, endliche Breite der Kurve vorgibt.

siehe auch in Raumlehre

Einige Beispiele sollen veranschaulichen, wie der Volksmund  mit Paradoxien umgeht: nämlich ganz selbstverständlich:
"überall und nirgends" ist etwas, das nicht lokalisierbar ist.
Doch angesichts der Bestrebungen nach exakter physikalischer Ortsangaben wird ein Physiker diesem Ausdruck gegenüber wohl kaum mehr als ein "Was soll der Quatsch?" übrig haben. Was steckt jedoch dahinter?
Ich kann es hier nur an einem Beispiel veranschaulichen:
Wenn ich etwas suche wie "das Glück", dann heißt es, ich habe es nicht, es ist "nirgends", an "keinem Ort", an dem ich bin. Wenn ich das Glück für mich gefunden habe, ist es "überall" - an jedem Ort, an dem ich bin, bin ich glücklich.

Eine physikalische Entsprechung ist vielleicht das Hologramm: die Informationen über das ganze Bild sind in jedem Bildpunkt und trotzdem sind sie nicht dort - denn ich benötige mehr als einen Punkt, das Bild zu reproduzieren. Auch das Hologramm ist also - genau betrachtet- ein Paradoxon in sich.

"Eine halbe Ewigkeit" dauert etwas, das ziemlich lang erscheint: das paradoxe: es gibt die "ganze Ewigkeit", aber sie ist nicht teilbar, eine halbe Ewigkeit ist unmöglich.

zu "halbe Ewigkeit" siehe Mathematik / Zahlen-Spiele / Teilen