| Die Veränderung der Bedeutung des Gleichheitszeichens
im geschichtlichen Verlauf seiner Anwendung: |
Bleibt sich alles gleich oder verändert es sich?
Die statische und die dynamische Sicht auf das Gleichheits-Zeichen |
Man liest heute eine mathematische Zeichenansammlung ("Formel"), die ein Gleichheitszeichen
enthält, im allgemeinen:
a [Operator bzw. Rechenzeichen] b = c
so, daß die linke und die rechte Seite gleichgesetzt werden im Sinne von "ist gleich":
Z. B. könnte diese Gleichung so aussehen:
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1 + 1 = 2 |
(1) |
| und wird gelesen: |
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"Eins plus eins ist gleich zwei". |
(2) |
| Die frühere Lesart war jedoch |
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"Eins plus eins ergibt zwei."
bzw.
"Eins plus eins addiert wird zu zwei." |
(3) |
Auch die Interpretation des Gleichheitszeichens als
"dabei kommt heraus"
war möglich.
Das Gleichheitszeichen hatte also ursprünglich einmal die Bedeutung einer zeitliche Orientierung, der Prozeß des Werdens und Vergehens, die Zukunft (dynamische Sicht ) war enthalten. |
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Ich gehöre noch zu der Generation von Schülern, die in der Grundschule dieses
"dabei kommt heraus"
gelernt hat.
Meine Kinder,
die nur das
"ist gleich"
lernten, wären also nie auf die Idee gekommen, das Gleichheits-Zeichen könne auch etwas anderes bedeuten. |
| gleich oder identisch - zuerst eine philosophische und erst dann auch eine mathematische Grundfrage |
Die heute fast nur noch verwendete einfache Gleichsetzung "ist gleich" entspricht demgegenüber der zeitlosen, statischen Sichtweise auf das "Sein". Der Prozeßcharakter einer mathematischen Operation geht dabei verloren. In dieser Sichtweise wird also die Realität des ständigen Werdens und Vergehens vernachlässigt.
Normalerweise dürfte diese völlige zeitlose Gleichsetzung beider Seiten nur dann erfolgen, wenn beide Seiten "zeitunabhängig" gleich sind und müßte dann mit Hilfe des "Identitätszeichens" dargestellt werden:
Wenn man so will, findet man in diesen beiden Möglichkeiten, das Gleichheitszeichen zu interpretieren, eine der philosophischen Grundfragen widergespiegelt:
Bleibt sich alles gleich oder ist es in ständiger Veränderung? |
Warum wird das Identitäts-Zeichen i. a. so vernachlässigt? Mein "Anfangs-Verdacht" darüber ist, daß das deshalb geschieht, um dieses philosophische Grundproblem zu verwischen, zu ignorieren, um die "alles ist gleich"-Version einseitig durchzusetzen. |
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Ein Beispiel
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Nun will ich anhand des Beispiels mit dem zerschnittenen Apfel (wie ich es auf der Seite "Weltformel" gewählt habe) zeigen, wie eine Interpretation einer mathematischen "Gleichung" durchaus im Widerspruch zur Wirklichkeit stehen kann:
Die einfache Gleichung
ist mathematisch "richtig".
Angewandt auf den Apfel sieht es jedoch so aus:
1 Apfel = 1/2 Apfel + 1/2 Apfel = 2 / 2 Äpfel
bedeutet:
Aus einem Apfel kann man durch Halbieren (einen Prozeß, ein Teilungsvorgang in der Zeit) zwei halbe Äpfel machen. Ein Apfel "wird zu" zwei halben Äpfeln.
Doch die "Umkehroperation"
1/2 + 1/2 = 1
die zwar mathematisch möglich und richtig ist, gilt im Falle des Apfels nicht: |
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Du kannst aus zwei halbe Äpfeln keinen ganzen Apfel mehr machen.
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1/2 Apfel + 1/2 Apfel |
= |
1 Apfel |
(1) |
ist falsch!
Daher müßte man schreiben:
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1/2 Apfel + 1/2 Apfel |
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1 Apfel |
(2) |
Will man diesen Sachverhalt also in mathematischer Schreibweise ausdrücken, wäre nur die Gleichung (2) "richtig". Diese steht aber im Widerspruch zu den mathematischen Grundregeln.
Diese zweite reale Situation (Alltag, Erfahrung der Schüler) ist in der Mathematik, in ihren Regeln nicht berücksichtig.
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Die Mathematik spiegelt also gar nicht die „ganze“ Realität, sondern nur einen ausgewählten Ausschnitt, einen Teil des wirklichen Lebens.
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| Der mathematische Operator für die Vernichtung bzw. Zerstörung |
Die Rolle des Operators in einer Gleichung will ich noch an einem Beispiel andeuten:
Die Multiplikation mit Null ist die "Vernichtuns-Operation":
Alles (jede Zahl, jedes Formelzeichen) , das "mit Null multipliziert wird", "wird Null", verschwindet, wird vernichtet.
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A * 0 = 0 |
A multipliziert mit Null "ist gleich" Null bzw.
A multipliziert mit Null "ergibt" Null |
Also ist diese mathematische Operation das Spiegelbild des realen Vergehens des Seienden.
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| Die Umkehrung der Vernichtung, die "Schöpfung aus dem Nichts" |
Welche mathematische Operation spiegelt aber das Werden wider?
Die Mathematik gibt selbst die Antwort - sie nennt das Gegenstück zu einer mathematischen Operation die "Umkehroperation":
Die Umkehrung der obigen Gleichung sieht dann so aus:
bzw.
Was sagen nun die beiden Gleichungen, in eine außermathematische Sprache übersetzt? Sie treffen in wunderschöner Doppeldeutigkeit (!) zwei völlig entgegengesetzte Aussagen:
(1) sagt: Aus Nichts (Null) durch A (durch die Realität, das Sein hindurch) wird wieder Nichts.
Oder: "Alles, was besteht (entsteht), ist wert, daß es zugrunde geht." (Hegel)
und "Von nichts wird nichts."
(2) Aber diese andere, zweite Umkehrungsmöglichkeit sagt noch etwas:
Aus Nichts durch Nichts wird "alles mögliche".
Denn A kann in dieser Gleichung "alles" sein. Was immer wir als Lösung dieser Gleichung für A auch annehmen, es werden immer nur Teillösungen erhalten. Für A gibt es unendlich viele Lösungen.
Diese Gleichung ist die mathematische Beschreibung der "creatio ex nihilo" . Damit wird diese "Schöpfung aus dem Nichts" mathematisch darstellbar. Ein "Beweis", daß es sie gibt, ist das jedoch nicht. Oder was meinen die Mathematiker dazu?
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Beispiel:
Zur Addition ist die Subtraktion die "Umkehr-Operation,
zur Subtraktion ist es die Addition |
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| Noch einmal: das Identitätszeichen |
Das Identitätszeichen ist also nur anwendbar auf folgende Gleichung
Eine solche Gleichheit (Identität) der beiden Seiten ist nur möglich, wenn man
1.
bestimmte Maße vergleicht:
Ein Quadrat der Seitenläge 4 hat die "gleiche" Fläche wie ein Rechteck mit den Seitenlängen 2 und 8.
Doch diese Flächen sind trotzdem qualitativ verschieden. Nur die Größe des Flächeninhaltes, der Zahlenwert, ist gleich.
2. Wenn man unberücksichtigt läßt, daß A "zeitabhängig" sein könnte, nur dann kann man schreiben: A ist zu jedem Zeitpunkt mit sich selbst identisch.
Eigentlich muß zuerst außermathematisch geklärt werden:
Ist A (t1) = A (t2) ?
(Ist A zu verschiedenen Zeitpunkten wirklich "gleich"?)
Nun hat man schon wieder ein philosophisches Problem mit der Gleichheit bzw. Identität: denn die Gleichheit in der Zeit ist für kein in der physischen Realität Existierendes gegeben. Es existiert nichts, das nicht zeitabhängig ist. Heraklits Satz, der dies anschaulich machen sollte, ist bis heute berühmt:
"Man kann nicht zweimal im gleichen Fluß baden."
Was kann man denn nun überhaupt noch gleichsetzen bzw. als identisch ansehen? Wie es aussieht, bleiben dafür nur die geistigen, selbstgenügsamen Konstrukte der Mathematik.
Schon die Annahme der "Reversibilität der Zeit" (einem "Riesenproblem" der Physiker - denn es entspricht im weitesten Sinne einer Unabhängigkeit von der Zeit, einem in der Zeit "gleich-bleiben") weicht von der Realität ab.
Die Annahme einer Reversibilität in der Zeit bzw. einer "Zeitunabhängigkeit" ist eine Folge der mathematischen Reduktion gegenüber der Wirklichkeit.
Damit haben die Mathematiker und Physiker sich letztendlich einfach über alle philosophische Erkenntnis hinweggesetzt. Wer versucht, mit solchen Definitionen und Modellen die Wirklichkeit zu beschreiben, wird natürlich nur ein stark reduziertes, einseitiges Bild von ihr erhalten.
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Die Gleichung gesprochen:
A identisch A
Auch hier weiß ich nicht, ob das Identitätszeichen in allen Browsern erkennbar ist: drei waagerechte Striche übereinander |
