Das Neutron als Kernbaustein hat die Eigenschaft, wenn es nicht fest in einen Kern eingebunden ist, zu zerfallen. Die Lehrmeinung besagt:

Beispiel 1:
Freie Neutronen zerfallen in einer Halbwertszeit von knapp 9 Minuten in Elektron, Proton und Antineutrino.

1. Aussage:
Die Mathematik ist in der Lage, einen langen Satz in kurzer Zeichenssprache darzustellen:

Wir vereinbaren, daß wir die Worte durch Zeichen ersetzen (Das Gleichheitszeichen in den folgenden Zeilen bedeutet:  dieses Zeichen auf der linken Seite soll die Bedeutung des Wortes auf der rechten Seite haben) :

n	=	Neutron
p	=	Proton  (gelegentlich auch p+   geschrieben, um die  elektrische Ladung besonders hervorzuheben)
e	=	Elektron (gelegentlich auch e-  geschrieben, um die elektrische Ladung besonders hervorzuheben)
e+	=	Positron,  Antiteilchen des Elektron
n	=	Neutrino
n(a)	=	Antineutrino (abweichend vom in der Physik üblichen Zeichen für das Antineutrino, ein "n" mit einem waagerechten Strich darüber, das ich hier in HTML nicht schreiben kann, verwende ich dieses Zeichen)
®	=	wird  zu ... reagiert zu ... wandelt sich um in ...

Der obige Satz (Beispiel 1) über den Zerfall des Neutrons  bzw. den b-Zerfall (Beta-Zerfall)
läßt sich also in mathematischer Schreibweise  verkürzt so ausdrücken :

2. Aussage:
Die Mathematik ist in der Lage, allgemeine Regeln aufzustellen, die auf alle ihre Aussagen angewandt werden können:


Beispiel 2:
Als erstes lege ich fest: a, b und c sind beliebige Mengen von konkreten Dingen. Es können Äpfel, Euro oder Längeneinheiten (Meter) sein.
Dank der Mathematik weiß ich, wenn ich
a = 3  Euro ,   b = 7 Euro  habe, dann ist c = a + b = 10 Euro:
Nehme ich statt der Euro Meter, gilt das gleiche: ich weiß, daß ich bei der Addition zweier Teilstrecken von 3 und 7 Metern auf eine Gesamtstrecke von 10 Metern komme.
Die Mathematik kann noch mehr aussagen:
Wenn
                        a   +     b    =       c                   (1)
gilt, dann gilt gleichermaßen:
                       a                 =       c  -  b          (2)
Ich habe auf beiden Seiten "b" subtrahiert und eine genauso gültige Gleichung (2) erhalten wie Gleichung (1). Die Mathematik hat mit ihren Regeln die Möglichkeit gegeben, diese Richtigkeit der zweiten Gleichung aus der Richtigkeit der ersten Gleichung abzuleiten.
Ich kann also mit Hilfe dieser Gleichungen aussagen: ob ich zu 7  Euro  3 Euro addiere und 10 Euro erhalte oder ob ich von 10 Euro 3 Euro subtrahiere und dann 7 Euro erhalte - beide Vorgänge kann ich mit der gleichen  Basis - Formel beschreiben, ich kann diese Formel je nach Bedarf so umwandeln, daß sie  - in ihren zwei Varianten (1) und (2) beide Sachverhalte richtig wiedergibt.

Ich kann es auch so ausdrücken: Die Addition einer Zahl "b" auf der linken Seite einer Gleichung ist gleichwertig der Addition   des "Anti-b" (der Zahl "- b") auf der rechten Seite.  Beide Gleichungen (1) und (2) sind richtig, um den Zusammenhang zwischen der Größe "a" und der Größe "c" erkennen zu können. Es ist egal, ob ich zur Zahl a die Zahl b addiere, um auf c zu kommen, oder ob ich zur Zahl c die Zahl (- b) addiere, um auf a zu kommen. Beide Gleichungen sind allgemein anwendbar auf alle Mengen, die ich addiere oder subtrahiere.

In diesem Schulbuch fand ich ein Beispiel, wie die Zuordnung der Wörter zu den Formeln so verwirrend dargestellt wurde, daß das Verstehen für einen Schüler (fast) unmöglich wurde. Text und Formelsprache stimmen nicht überein. Die Worte sagt das eine, die Formel sagt etwas ganz anderes. Doch darauf will ich jetzt und hier nicht weiter eingehen.

Mir geht es um eine andere Aussage aus dem Metzler:
Am Beispiel dieser Reaktionsgleichungen des Neutronenzerfalls und der möglichen Umwandlung eines Protons in Neutron, Positron und Neutrino lehrt das Buch auf S. 517:

                      p⁺      ®          n  +  e⁺    + n


 "Die Umkehrung eines Beta-Plus-Zerfalls wäre die Umwandlung eines Neutrons  in ein Proton durch Einfangen eines  Positrons und eines Neutrinos. Nach der Quantenfeldtheorie ist die Absorption eines Teilchens, hier eines Positrons, äquivalent mit der Emission eines zugehörigen Antiteilchens, des Elektrons. "

Er erhält dann durch diverse Umstellungen folgende Gleichung:

n   + n

®

p    +   e

                                

Ich fasse zusammen:

Aus mathematischer Sicht, in mathematischer Sprache, ist es völlig gleichwertig zu schreiben:

	n	®	p   +  e   +   n(a)	(1)
	n   + n	®	p    +   e	(2)

Das Schema dieser beiden Reaktions-Gleichungen entspricht dem obigen Schema der beiden echten Gleichungen mit a, b und c.
Das bedeutet: aus mathematischer Sicht  (in der Sprache der Mathematik)  sind beide Gleichungen in der Lage, den Neutronenzerfall zu beschreiben. Doch  wenn beide Schreibweisen mathematisch gleichwertig sind, kann ich mit Hilfe der Mathematik nicht unterscheiden zwischen dem Sachverhalt "Emission des Antineutrino"  in Gleichung (1) und "Absorption des Neutrino" in Gleichung (2).
Wenn ich mich also auf die Mathematik beschränke, hätte ich schon  "bewiesen", daß beides gleich ist und daß beides möglich ist - einfach aus den Regeln der Mathematik.  

Welcher physikalische Unterschied besteht nun zwischen den beiden Gleichungen?
Die erste  Gleichung ist die historisch gewachsene Schreibweise für den Neutronenzerfall.

Die zweite Gleichung würde ein völlig neues Bild auf den Neutronenzerfall liefern: 

Welche der beiden Gleichungen ist richtig - oder sind sie beide "gleich" richtig?
Welche  physikalischen Konsequenzen hätte eine Interpretation, daß Neutronen nicht spontan zerfallen und bei der Bildung von Elektron und Proton ein Antineutrino emittieren, sondern daß sie nur dann zerfallen, wenn sie mit einem Neutrino zusammentreffen?   

Vielleicht kann man aus dieser mathematische Sicht sogar erkennen, daß bisher der Neutronenzerfall falsch beschrieben wurde und wir eigentlich die andere Variante der mathematischen Schreibweise bevorzugen müssen?

Dieses Beispiel habe ich gewählt, um zu zeigen,

1. wie die "Sprache" Mathematik aus der normalen Sprache entsteht;

2. daß Aussagen, die mit Hilfe der mathematischen Sprache möglich sind, nicht unbedingt "wahr" sein müssen im Sinne, daß alles, was mathematisch möglicherweise abgeleitet werden kann, auch physisch real sein muß;

3.  daß man deshalb vorsichtig sein muß mit der Behauptung, daß man etwas "mathematisch bewiesen" habe;

4. daß es möglich ist, aus mathematischen Erkenntnissen Fragestellungen über das Wesen der Wirklichkeit abzuleiten, die ohne die Hilfe der Mathematik nicht so leicht zu erkennen sind.